En el presente documento daremos solución a la tarea siguiendo el capítulo 11 del Jackson Tercera Edición, el cuál hace uso de las propiedades matemáticas del espacio tiempo de Minkowski. Se realizarán precisiones donde falten en el libro con apoyo de argumentos originales.
$$Ax =x'$$$$ \overline{g}(e_i) = e^i \forall i \neq 0 $$$$\overline{g}(e_0) = - e^0$$\[ u^T g v = (\overline{g}(u), v) .\]$$g = \begin{pmatrix} -1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix} $$$$det(A^T g A) det(A^T) det(g) det(A)= det(g)$$$$\implies det(A^T) det(A) = det(A)^2= 1 \implies det(A) = \pm 1$$$$a_{ij} g_{jl} a_{lk} = g_{ik}$$$$A = e^L$$$$det(A) = e^{trL} =1 \implies trL =0 $$$$A^TgA A^{-1}g = g A ^{-1}g \implies A^T = gA ^{-1}g$$\[ A^T= e^{L^T} \implies gA^Tg = e^{g L^Tg} \implies g^2 A^{-1} g^2 = A^{-1}= e^{g L^T g} \implies e^{-L} = e^{g L^T g} .\]Esto nos da la siguiente propiedad \begin{equation}
- gL = gg L ^T g = L^T g = (gL)^T \label{antisimetria} \end{equation} quiere decir que $gL$ es anti simétrica i.e $(gL){ij} = - (gL){ji}$, analicemos indicialmente esta ecuación. Expandamos \begin{align*} (gL){ij} = g{il} L_{lj} i&= - g_{jl} L_{li} \ \implies g_{ii} L_{ij} &= - g_{jj} L_{ji} \ \text{si i=0, j=0: } g_{00} L_{00} &= -g_{00} L_{00} \ \implies -L_{00} &= -(-1) L_{00} \implies L_{00} = 0\ \text{ si } i=0 j\neq 0: \ g_{00} L_{0j} &= - g_{jj} L_{j_0} \implies -L_{0j} = - L_{j_0}\ \text{si \ } i\neq 0, j \neq 0: \ g_{ii} L_{ij} &= - g_{jj} L_{ji} \implies L_{ij} = -L_{ji} .\end{align*} Por lo cuál $L$ es de la forma \[ L = \begin{pmatrix} 0 & L_{01} & L_{02} & L{03} \\ L_{01} & 0 & L_{12} L_{13} \\ L_{02} & -L_{12} & 0 & L_{23} \\ L_{03} & - L_{13} & -L_{23} & 0 \end{pmatrix} .\] Sabemos que dentro de las posibles transformaciones que incluye la forma general de $L$ están las rotaciones espaciales ordinarias que satisfacen $A A^T = I \implies L^T = -L$ por tanto ignoraremos las partes anti simétricas de esta forma general. Por lo tanto los generadores del grupo de rotaciones hiperbólicas en un espacio de Minkowski es el siguiente \[ K_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1& 0 & & \\ 0 & & 0 & \\ 0 & & & \end{pmatrix} , \ \ \ K_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& & & \\ 1 & & & \\ 0 & & & \end{pmatrix} , \ \ \ K_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0& & & \\ 0 & & & \\ 1 & & & \end{pmatrix} \ \ \ .\] Denotaremos a $\epsilon \cdot K$ como una combinación lineal de las matrices esto es $\epsilon = \epsilon_1 K_1 + \epsilon_2 K_2 + \epsilon_3 K_3$. Si $\epsilon$ es un vector unitario, se cumple la siguiente igualdad $(\epsilon \cdot K)^3 = \epsilon \cdot K$. Esta propiedad se sostiene dado que los eigenvalores de una matriz cúbicamente idempotente son de la siguiente manera. Sea $F$ una matriz cúbicamente idempotente, supongamos que es diagonalizable \begin{align*} Fv &= \lambda v \ F^3 v &= \lambda^3 v \implies \lambda^3 = \lambda\ \lambda(\lambda^2 -1) &= 0 \end{align*} en conclusión una matriz cúbica idempotente tiene sus eigen valores son unitarios positivo, negativo o nulo.