En el presente documento daremos solución a la tarea siguiendo el capítulo 11 del Jackson Tercera Edición, el cuál hace uso de las propiedades matemáticas del espacio tiempo de Minkowski.
Se realizarán precisiones donde falten en el libro con apoyo de argumentos originales.
$$
\overline{g}(e_i) = e^i \forall i \neq 0
$$$$\overline{g}(e_0) = - e^0$$$$
u^T g v = (\overline{g}(u), v)
$$$$g = \begin{pmatrix} -1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix} $$$$det(A^T g A) det(A^T) det(g) det(A)= det(g)$
$$$$
Dado a que consideraremos únicamente transformaciones propias de Lorentz restringimos $det(A) = 1$, esto no es más que definir una orientación.
De \eqref{lorentz} tenemos que los coeficientes de la matriz $g$ cumplen el siguiente sistema de ecuaciones
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la simetría de la matriz $g$ reduce el número de ecuaciones independientes de 16 a 10
lo cuál nos da una forma de coordenar a las componentes con 6 números.
3 de ellos son ángulos para rotaciones espaciales ordinarias, los otros tres de los boosts o rotaciones hiperbólicas de los que principalmente estamos interesados.
En esta solución usaremos al generador $L$ para $A$
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indaguemos en sus propiedades.
Sabemos que el determinante de $A$ es unitario así que se debe cumplir
$$$$
recordemos que la traza de una matriz es la suma de los valores característicos de esta, por tanto si llegasemos a suponer que $L$ es solamente boost sus eigenvalores son tres $\lambda_i$ y cumplen
\begin{equation}
\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 =0.
\label{eigen}
\end{equation}
Manipulemos un poco la ecuación (1) a sabiendas de que $g^2=I$
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tomando la definición del generador
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A^T= e^{L^T} \implies gA^Tg = e^{g L^Tg} \implies g^2 A^{-1} g^2 = A^{-1}= e^{g L^T g} \implies e^{-L} = e^{g L^T g}
$$
Esto nos da la siguiente propiedad